Transformada de Fourier para series de tiempo Sobre convolución de imágenes y SciPy
Transformada de Fourier para series de tiempo y convolución de imágenes con SciPy
La convolución de transformada de Fourier también se aplica a imágenes
Esta publicación es la segunda parte de la transformada de Fourier para series de tiempo, revisa la primera parte aquí:
Transformada de Fourier para series de tiempo: convolución rápida explicada con numpy
Convolución 10000 veces más rápida usando la transformada de Fourier
towardsdatascience.com
Revisión rápida de la publicación anterior
En la primera publicación, expliqué cómo se puede utilizar la transformada de Fourier para convolucionar señales de manera muy eficiente. Mostré que la convolución utilizando la transformada de Fourier en numpy es muchas órdenes de magnitud más rápida que el enfoque algebraico estándar, y que corresponde a un cierto tipo de convolución llamada convolución circular.
En esta publicación, quiero enfatizar lo que significa la convolución circular y cómo se aplica todo a las imágenes. Las imágenes también son una buena manera de extender la intuición de 1 dimensión a 2 dimensiones.
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Todas las imágenes fueron creadas por el autor.
Convolución de imágenes con scipy
Si alguna vez has trabajado con imágenes para el procesamiento de imágenes, es muy probable que hayas encontrado funciones para aplicar convolución. La convolución de imágenes se utiliza en todas partes: mejora de imágenes, eliminación de ruido, segmentación, extracción de características, compresión, y es la base de las Redes Neuronales Convolucionales, el estándar de oro de los modelos de aprendizaje profundo para procesar datos visuales.
En Python, la convolución de imágenes se puede hacer de manera bastante sencilla utilizando scipy y su subpaquete ndimage. En este punto, recomiendo echar un vistazo rápido a la documentación de la función `convolve` y luego regresar aquí.
scipy.ndimage.convolve – Manual de SciPy v1.11.1
Convolución multidimensional. La matriz se convoluciona con el núcleo dado. Parámetros: La matriz de entrada. Matriz de…
docs.scipy.org
El uso es muy simple: puedes pasar dos imágenes para convolucionarlas juntas. Veamos un ejemplo:
Ten en cuenta que scipy propone varias formas de manejar los límites utilizando el parámetro ‘mode’: como veremos a continuación, el modo ‘wrap’ corresponde a la convolución circular y, por lo tanto, a la convolución utilizando un enfoque de transformada de Fourier. También existen otros enfoques, como ‘reflect’ que refleja las imágenes de adentro hacia afuera, o ‘constant’ que repite el valor más externo. Observa también cómo funciona ‘wrap’: repite toda la señal, como si fuera periódica.
Convolución de imágenes 2D
Comencemos a codificar para ver las diferencias entre los diferentes modos de convolución.
Primero, creamos una clase para representar imágenes periódicas 2D: recuerda de la publicación anterior que al utilizar la herramienta de transformada de Fourier, las señales se consideran periódicas. Esta clase es solo azúcar sintáctico para trazar esos arreglos periódicos 2D.
Mostramos la imagen “base” en el rectángulo [0, V, 0, H], así como sus 8 primeras réplicas alrededor. Como se mencionó en la publicación anterior, la señal se considera periódica, por lo tanto, con soporte infinito, pero solo necesitamos y usamos un solo período.
Ahora creemos una imagen de muestra para jugar: debe contener ruido aleatorio, un patrón sinusoidal, un patrón de pendiente y algunos puntos cuadrados. También creamos la versión periódica de esta imagen de muestra: representa la imagen periódica que la transformada de Fourier considera al aplicar sus operadores:
Ahora creemos un núcleo para usar en la convolución: usaremos un núcleo constante simple, también llamado núcleo de promediado ya que la convolución con este núcleo solo da el promedio local de la imagen de entrada.
Luego comenzamos a jugar con la función de convolución de scipy y sus diferentes modos para manejar los límites, y envolvimos el resultado como una matriz periódica para facilitar la representación gráfica: observe cómo el centro de la imagen convolucionada siempre es el mismo sin importar el modo utilizado, pero los límites varían.
Ahora podemos utilizar un enfoque de transformada de Fourier para calcular la convolución: como se muestra en la publicación anterior, solo necesitamos tomar la transformada inversa de Fourier del producto de la transformada de Fourier de ambas señales, la imagen y el núcleo:
Comparando el resultado con el modo “wrap” de scipy, podemos ver que los resultados se parecen mucho, solo con un ligero desplazamiento:
Esto es solo una cuestión de indexación, y podemos obtener los mismos resultados utilizando un núcleo centrado desplazado:
Utilizando un centrado adecuado, obtuvimos resultados idénticos entre la convolución de scipy con modo=’wrap’ y el enfoque de transformada de Fourier.
Por curiosidad, veamos qué enfoque es más rápido:
Nuevamente, el enfoque de transformada de Fourier fue más rápido, y en este caso más rápido que una función de scipy, lo cual es bueno.
Conclusiones
Hemos visto en esta publicación cómo la convolución circular se traduce en imágenes y cómo es equivalente a la función de convolución de scipy utilizando el modo=’wrap’.
En la próxima publicación, profundizaremos en el uso de funciones de ventana en el contexto de la transformada de Fourier para reducir la fuga espectral y mejorar el análisis espectral.
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