Álgebra Lineal 1 Ecuaciones Lineales y Sistemas

Introducción al Álgebra Lineal Ecuaciones Lineales y Sistemas

Sistemas de ecuaciones lineales

Prefacio

Esta es la primera adición a lo que se convertirá en una serie continua sobre los fundamentos del Álgebra Lineal, la matemática fundamental detrás del aprendizaje automático. Este artículo serviría mejor a los lectores si se lee acompañado de “Álgebra Lineal y sus Aplicaciones” por David C. Lay, Steven R. Lay y Judi J. McDonald. Considere esta serie como un recurso complementario externo.

A través de estos ensayos, espero consolidar mi comprensión de estos conceptos fundamentales y, si es posible, ofrecer claridad adicional a otros con lo que espero sea un enfoque basado en la intuición para aprender matemáticas. Si hay algún error u oportunidad para que me extienda más, por favor compártalo y haré las enmiendas necesarias.

Antecedentes

Las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales tienen una variedad de aplicaciones en el mundo real en los campos de Finanzas, Ingeniería, Química, Ciencias de la Computación, Estadística, Física y más. En Química, las ecuaciones lineales se utilizan para equilibrar reacciones químicas y calcular las cantidades de reactivos y productos. Este pilar del Álgebra Lineal también aparece en Física, donde las ecuaciones lineales se utilizan en Cinemática y Termodinámica para describir el movimiento de objetos, ayudar a calcular distancias, velocidades y aceleraciones, y modelar la transferencia de calor y flujo de energía en sistemas físicos respectivamente. El campo financiero se basa en ecuaciones lineales y sistemas para la planificación presupuestaria y el análisis de carteras, mientras que los ingenieros pueden utilizar las mismas herramientas para realizar análisis estructurales y modelar fuerzas y tensiones en edificios. El Álgebra Lineal es omnipresente; todos podemos apreciarlo hasta cierto grado.

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una ecuación con una o más variables y para cada variable, el exponente al que se eleva la variable debe ser uno. Puede escribirse en la forma: a₁x₁ + a₂x₂ + … + 2ᵣxᵣ = b. Los valores [a₁, a₁, …, aᵣ] y b se denominan coeficientes de una ecuación lineal.

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Ejemplos de ecuaciones lineales incluyen: 2x + 5y = 10, 6x = 18, 7v + 8w + 0x + 2y + 3z = 15, y 3x₁ + 4x₂ + 5x₃+9x₄ + 10x₇ = 3.

Un contraejemplo de una ecuación lineal sería 2x² + 6x + 5 = 2; este es un ejemplo de una ecuación cuadrática*. Otro contraejemplo podría ser 7x₁ + 3x₂ = x₁* y₁; la razón de esto se vuelve evidente cuando grafica esta ecuación, se puede reorganizar para formar la función racional y = 7x / x – 3 que es curvada en lugar de lineal.

Consideremos la ecuación lineal 2x + 5y = 10. El siguiente diagrama ilustra la representación gráfica de la ecuación lineal, se puede notar que es una línea. Esto se vuelve más obvio al recordar la ecuación de una línea: y = mx + b, donde m = pendiente y b = intersección en y. La ecuación lineal puede reorganizarse como se muestra a continuación para asumir esta forma.

Podemos sacar la siguiente conclusión: todos los puntos (x, y) que caen en la línea son soluciones de la ecuación 2x + 5y = 10. Por ejemplo, supongamos que seleccionamos el punto de la intersección en x (5, 0) y sustituimos los valores de x e y en las respectivas posiciones de la ecuación. 2(5) + 5(0) = 10. Cualquier punto (x, y) en la línea puede ser sustituido en la ecuación y la igualdad será verdadera. Podemos generalizar este hallazgo en una regla:

El conjunto de soluciones en ℝ²* para una ecuación lineal con dos variables, ax + by = c, puede representarse como una línea.

Es importante tener en cuenta que esta ecuación singular tiene un número infinito de soluciones que abarcan ℝ²; examinaremos más de cerca el número de soluciones más tarde.

Este mismo concepto subyacente se traslada a espacios de coordenadas de dimensiones superiores denominados ℝⁿ, como ℝ³, en el que la línea se convierte en un plano debido a la adición de una tercera variable.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de una o más ecuaciones lineales con ecuaciones que comparten variables similares. Por ejemplo:

6x + 2y = 4

2x + 4y = 8

Una solución a un sistema de ecuaciones lineales se define como los valores (s₁, s₂, …, sᵣ) que hacen que cada ecuación sea verdadera cuando se sustituyen en sus respectivas variables. En el caso del sistema anterior, la solución sería (0, 2) porque cuando se sustituye (0, 2) en el sistema, ambas ecuaciones se evalúan como verdaderas.

Soluciones a un Sistema Lineal

¿Cuáles son las implicaciones gráficas de una solución a un sistema lineal? ¿Cuáles son los diferentes casos de número de soluciones para un sistema lineal? Esta sección examinará cada una de las tres posibilidades con mayor detalle. Son las siguientes:

1. Solución Única
2. Sin Solución
3. Soluciones Infinitas

Solución Única: En el caso de un sistema lineal con dos variables como el mencionado anteriormente, la solución es un punto de intersección. ¿Por qué? La solución es el par ordenado en el que ambas ecuaciones deben satisfacerse, si no existe dicho par ordenado, eso significa que las líneas nunca se intersectan. Este es un ejemplo de solución única. Solo existe una solución que satisface todas las ecuaciones del sistema lineal.

Sin Solución: Consideremos el caso de ninguna solución. ¿Qué podría implicar eso en el contexto de un sistema lineal con dos variables? ¿En qué escenarios las líneas nunca se encuentran? Un caso sería si fueran paralelas. En el caso de un sistema lineal donde las líneas son todas paralelas, el sistema lineal no tendrá soluciones. Otro caso sería si mientras algunas líneas pueden intersectarse con otras, no hay un punto de intersección común entre todas las líneas.

Soluciones Infinitas: El último caso para un sistema lineal es la existencia de soluciones infinitas. ¿Cuándo podría ser posible que haya soluciones infinitas para un sistema lineal de dos variables? Si las líneas son las mismas, entonces hay puntos de intersección infinitos porque se superponen y, por lo tanto, existen soluciones infinitas. Considera el siguiente sistema lineal:

6x + 3y = 18

2x + y = 6

Aunque los coeficientes pueden ser diferentes, ¡estas líneas son realmente idénticas! Si divides cada uno de los coeficientes de la primera ecuación por 3, obtendrás la ecuación resultante 2x + y = 6.

La visualización del número de soluciones para un sistema lineal cambia a medida que aumenta el número de variables. A continuación se muestran posibles diagramas de los tres casos de solución para un sistema lineal con tres variables. Después de tres dimensiones, se vuelve difícil para el cerebro humano visualizar, ¡pero las mismas reglas se aplican! Independientemente de cuántas variables haya, todos los sistemas lineales tienen ya sea ninguna solución, una solución o soluciones infinitas.

Notación de Matrices

A medida que las ecuaciones lineales se vuelven más complejas, la notación puede volverse complicada. Es importante que la información de un sistema lineal se condense para ser fácil de manipular y trabajar, y por eso se usa frecuentemente la notación de matrices en lugar de un conjunto de ecuaciones. Una matriz de coeficientes es un tipo de matriz que excluye el coeficiente b de cada ecuación. Una matriz aumentada incluye el coeficiente b, por lo tanto, tiene una columna más que la matriz de coeficientes.

El tamaño, también conocido como orden, de una matriz nos dice cuántas filas y columnas tiene una matriz. Una matriz m x n es una matriz con m filas y n columnas. El número de filas corresponde a cuántas ecuaciones lineales tiene un sistema, mientras que el número de columnas nos dice cuántas variables hay. Asegúrate de que el número de filas preceda al número de columnas, ya que el orden no es intercambiable.

Resolución de un sistema lineal

Hay una forma sistemática de determinar si un sistema lineal tiene solución, y si la tiene, si tiene una solución única o soluciones infinitas, y a partir de ahí, obtener las soluciones. La resolución de un sistema lineal se puede realizar utilizando ecuaciones lineales en su forma original o con una matriz, aunque se recomienda utilizar una matriz, ya que la notación es más clara y compacta. Sin embargo, es bueno estar familiarizado con ambos métodos, ya que proporcionan una visión adicional de la mecánica del otro.

A continuación se muestra un proceso paso a paso para resolver un sistema de ecuaciones sin matriz. La idea básica es crear nuevas ecuaciones multiplicando las existentes para obtener ecuaciones idénticas que luego se pueden sumar o restar de otra ecuación para eliminar una variable. Este proceso se repite hasta que hayamos eliminado suficientes incógnitas del sistema para poder resolver una variable y luego trabajar en sentido contrario para resolver el resto a través de la sustitución inversa. Al final, es necesario realizar una comprobación para asegurarse de que la solución realmente satisface el sistema de ecuaciones.

Operaciones de fila

Los pasos descritos anteriormente son transferibles al procedimiento centrado en la matriz para resolver un sistema lineal. Observa cómo las variables que se eliminan se designan dentro de la matriz después de cada transformación. Antes de entrar en eso, sin embargo, definamos algunas operaciones de fila. Dos de ellas son paralelas a las operaciones que aplicamos anteriormente.

1. Sustitución: “reemplazar una fila por la suma de ella misma y otra fila”.*
2. Intercambio: “intercambiar dos filas”.*
3. Escala: “multiplicar todas las entradas de una fila por una constante no nula”.*

Enfoquemos una vez más el mismo sistema lineal pero esta vez utilizando matrices y aplicando operaciones de fila.

Observa cómo he utilizado las mismas operaciones exactas y factores de escala que en el método de ecuaciones lineales. No sorprendentemente, obtenemos las mismas ecuaciones que antes. Otra cosa a tener en cuenta es la formación triangular en la esquina inferior izquierda de la matriz final. Tiene sentido que este patrón aparezca porque los 0 son marcadores de una variable eliminada y cada variable eliminada nos acerca más a identificar una ecuación que podamos resolver fácilmente; esto a su vez permite progresar en la resolución del sistema en su conjunto. Revisaremos esta aparición y proporcionaré una definición más formal en el próximo capítulo.

Resumen

En este capítulo aprendimos:

• Ecuaciones lineales: una ecuación con una o más variables donde el grado de la ecuación debe ser igual a 1.
• Sistemas de ecuaciones lineales: una colección de ecuaciones lineales.
• Soluciones de un sistema de una o más ecuaciones lineales: un sistema lineal tiene ninguna solución, una solución única o soluciones infinitas.
• Notación de matriz: una matriz rectangular que se utiliza como una forma condensada de representar un sistema lineal.
• Operaciones de fila: las operaciones de sustitución, intercambio y escala nos permiten transformar una matriz en una que haya eliminado suficientes variables desconocidas para resolver el sistema.
• Resolución de un sistema lineal: una forma sistemática de encontrar a) si existen soluciones para un sistema lineal dado y b) si existen solución(es), cuáles son sus valores exactos.

Notas

*A menos que se indique lo contrario, todas las imágenes son del autor del artículo.

*Como un pequeño aparte: la palabra cuadrática proviene de quadratus, que es el participio pasado de la palabra latina quadrare que significa “hacer cuadrado”; ¡lo cual rinde homenaje a su grado! [src]

*ℝ² es el espacio de todas las posibles parejas ordenadas (x, y) en la recta numérica real, y se representa como un plano bidimensional. ℝ² engloba el conjunto completo de números reales, y este conjunto es infinito de manera incalculable, lo que significa que el espacio ℝ² también es infinito.

*Cita para operaciones de fila [src]

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