¿Cuál es la diferencia entre la covarianza y la correlación?

La diferencia entre la covarianza y la correlación.

Introducción

Comprender y desatar las afinidades intrincadas entre variables en el vasto ámbito de la estadística es fundamental.

Desde la toma de decisiones basada en datos hasta los descubrimientos científicos y el modelado predictivo, todo depende de nuestra capacidad para desentrañar las conexiones ocultas y los patrones dentro de conjuntos de datos complejos. Entre los diversos estándares estadísticos que respaldan esta búsqueda, la covarianza y la correlación son cruciales, proporcionando información sobre las independencias entre variables.

La covarianza y la correlación son variables que ocurren con frecuencia en el análisis estadístico, pero las personas a menudo las malinterpretan o las usan indistintamente. Las sutiles diferencias que distinguen estos dos conceptos pueden tener un impacto profundo en nuestra interpretación y utilización de las relaciones estadísticas.

Por lo tanto, comprender la verdadera naturaleza de la covarianza y la correlación es fundamental para cualquier entusiasta de los datos o profesional que se esfuerce por desvelar todo el potencial de sus datos.

Este blog, covarianza vs correlación, discutirá las diferencias entre estos dos conceptos estadísticos y desmitificará su relación.

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Covarianza

Es un término estadístico que demuestra una asociación sistemática entre dos variables aleatorias, donde el cambio en una variable se refleja en el cambio en la otra variable.

Definición y Cálculo de Covarianza

La covarianza indica si las dos variables son directamente o inversamente proporcionales.

La fórmula de covarianza determina los puntos de datos en un conjunto de datos a partir de su valor promedio. Por ejemplo, puedes calcular la covarianza entre dos variables aleatorias, X e Y, utilizando la siguiente fórmula:

En el procedimiento anterior,

Interpretación de los Valores de Covarianza

Los valores de covarianza indican la magnitud y la dirección (positiva o negativa) de la relación entre variables. Los valores de covarianza varían de -∞ a +∞. El valor positivo implica una relación positiva, mientras que el valor negativo representa una relación negativa.

Covarianza Positiva, Negativa y Cero

Cuanto mayor sea el número, más dependiente será la relación entre las variables. Veamos cada tipo de covarianza individualmente:

Covarianza Positiva

Si la relación entre las dos variables es una covarianza positiva, están progresando en la misma dirección. Representa una relación directa entre las variables. Por lo tanto, las variables se comportarán de manera similar.

La relación entre las variables será una covarianza positiva solo si los valores de una variable (menor o mayor) son iguales a la importancia de otra variable.

Covarianza Negativa

Un número negativo representa una covarianza negativa entre dos variables aleatorias. Implica que las variables comparten una relación inversa. En la covarianza negativa, las variables se mueven en dirección opuesta.

A diferencia de la covarianza positiva, el aumento de una variable corresponde al valor menor de otra variable y viceversa.

Covarianza Cero

La covarianza cero indica que no hay relación entre dos variables.

Importancia de la Covarianza en la Evaluación de la Relación Lineal

La covarianza es importante para determinar la relación lineal entre variables. Sugiere la dirección (negativa o positiva) y la magnitud de la relación entre variables.

Un valor de covarianza más alto indica una fuerte relación lineal entre las variables, mientras que una covarianza cero sugiere que no hay vínculos.

Limitaciones y Consideraciones de la Covarianza

Las escalas de las medidas influyen en la covarianza y se ven altamente afectadas por valores atípicos. La covarianza se limita a medir solo las relaciones lineales y no comprende la dirección o la fuerza.

Además, comparar covarianzas en diferentes conjuntos de datos requiere precaución debido a las diferentes gamas de variables.

Correlación

A diferencia de la covarianza, la correlación nos indica la dirección y la fuerza de la relación entre múltiples variables. La correlación evalúa hasta qué punto dos o más variables aleatorias progresan en secuencia.

Definición y Cálculo del Coeficiente de Correlación

La correlación es un concepto estadístico que determina la potencia de la relación entre dos variables numéricas. Al deducir la relación entre variables, concluimos que el cambio en una variable afecta la diferencia en otra.

Cuando el movimiento análogo de otra variable recíproca la progresión de una variable de alguna manera a lo largo del estudio de dos variables, las variables están correlacionadas.

La fórmula para calcular el coeficiente de correlación es la siguiente:

Donde,

Interpretación de los valores de correlación

Existen tres tipos de correlación basados en diversos valores. Correlación negativa, correlación positiva y correlación nula o cero.

Correlación positiva, negativa y cero

Si las variables son directamente proporcionales entre sí, se dice que las dos variables tienen una correlación positiva. Esto implica que si el valor de una variable aumenta, el valor de la otra también aumentará. Una correlación positiva ideal tiene un valor de 1.

Esto es cómo se ve una correlación positiva:

En una correlación negativa, el valor de una variable aumenta mientras que el valor de la segunda variable disminuye. Una correlación negativa perfecta tiene un valor de -1.

La correlación negativa se ve de la siguiente manera:

Al igual que en el caso de la covarianza, una correlación cero significa que no hay relación entre las variables. Por lo tanto, si una variable aumenta o disminuye, no afectará a la otra variable.

Fuerza y dirección de la correlación

La correlación evalúa la dirección y la fuerza de una relación lineal entre múltiples variables. El coeficiente de correlación varía de -1 a 1, con valores cercanos a -1 o 1 que implican una alta asociación (negativa o positiva, respectivamente) y valores cercanos a 0 que sugieren una correlación débil o nula.

Coeficiente de correlación de Pearson y sus propiedades

El coeficiente de correlación de Pearson (r) mide la conexión lineal entre dos variables. Las propiedades del coeficiente de correlación de Pearson incluyen lo siguiente:

Fuerza: El valor absoluto del coeficiente indica la fuerza de la relación. Cuanto más cercano sea el valor del coeficiente a 1, más fuerte será la correlación entre las variables. Sin embargo, un valor más cercano a 0 representa una asociación más débil.
Dirección: El signo del coeficiente indica la dirección de la relación. Si el valor es positivo, hay una correlación positiva entre las dos variables, lo que significa que si una variable aumenta, la otra también aumentará. Si el valor es negativo, hay una correlación negativa, lo que sugiere que cuando una variable aumenta, la otra disminuirá.
Rango: El valor del coeficiente varía de -1 a 1. Una relación lineal perfecta se representa con un -1, la ausencia de una relación lineal se representa con un 0 y una relación lineal ideal se denota con un valor de 1.
Independencia: El coeficiente de correlación de Pearson cuantifica cuán linealmente dependientes son dos variables, pero no implica causalidad. No hay garantía de que una correlación fuerte indique una conexión de causa y efecto.
Linealidad: El coeficiente de correlación de Pearson solo evalúa relaciones lineales entre variables. El coeficiente podría ser insuficiente para describir completamente conexiones no lineales.
Sensibilidad a valores atípicos: Los valores atípicos en los datos pueden influir en el valor del coeficiente de correlación, aumentando o disminuyendo su tamaño.

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Otros tipos de coeficientes de correlación

Otros coeficientes de correlación son:

Correlación de Rango de Spearman: Es un indicador no paramétrico de correlación de rangos o dependencia estadística entre los rangos de dos variables. Evalúa qué tan bien una función monótona puede capturar la conexión entre dos variables.
Correlación de Rango de Kendall: Es una estadística que determina la relación ordinal entre dos valores medidos. Representa la similitud de los ordenamientos de los datos cuando se ordenan por cada cantidad, lo cual es una medida de correlación de rangos.

Una imagen de una familia antisimétrica de copulas de correlación de rangos de Spearman y tau de Kendall son funciones de parámetro inherentemente impar.

Ventajas y desventajas de la covarianza

A continuación se presentan las ventajas y desventajas de la covarianza:

Ventajas

Fácil de calcular: Calcular la covarianza no requiere suposiciones sobre la distribución de los datos subyacentes. Por lo tanto, es fácil de calcular la covarianza con la fórmula dada anteriormente.
Comprende la relación: La covarianza mide la extensión de la asociación lineal entre variables, proporcionando información sobre la magnitud y dirección de la relación (positiva o negativa).
Beneficiosa en el análisis de carteras: La covarianza se emplea habitualmente en el análisis de carteras para evaluar las ventajas de diversificación al integrar diferentes activos.

Desventajas

Restringido a relaciones lineales: La covarianza solo mide las relaciones lineales entre variables y no captura asociaciones no lineales.
No ofrece magnitud de la relación: La covarianza no ofrece una estimación estandarizada de la intensidad o fuerza de la relación entre variables.
Dependencia de escala: La covarianza se ve afectada por las escalas de medición de las variables, lo que dificulta la comparación de covarianzas entre diferentes conjuntos de datos o variables con unidades distintas.

Ventajas y desventajas de la correlación

Las ventajas y desventajas de la correlación son las siguientes:

Ventajas

Determinación de relaciones no lineales: Si bien la correlación estima principalmente relaciones lineales, también puede demostrar la presencia de conexiones no lineales, especialmente al utilizar estándares de correlación alternativos como el coeficiente de correlación de rangos de Spearman.
Criterio estandarizado: Los coeficientes de correlación, como el coeficiente de correlación de Pearson, son estandarizados y varían de -1 a 1. Esto permite una fácil comparación e interpretación de la dirección y la fuerza de las relaciones en diferentes conjuntos de datos.
Robustez frente a valores atípicos: Los coeficientes de correlación suelen ser menos sensibles a los valores atípicos que la covarianza, lo que proporciona un estándar más sólido de la asociación entre variables.
Independencia de escala: La correlación no se ve afectada por las escalas de medición, lo que la hace conveniente para comparar afinidades entre variables con unidades o escalas distintas.

Desventajas

Influencia de valores extremos: Los valores extremos todavía pueden afectar el coeficiente de correlación, aunque es menos susceptible a los valores atípicos que la covarianza.
Requisitos de datos: La correlación asume que los datos se distribuyen según una distribución normal bivariada, lo cual no siempre es preciso.
Limitada al análisis bivariado: Debido a que la correlación examina únicamente la conexión entre dos variables simultáneamente, solo puede capturar correlaciones multivariadas simples.

Similitudes entre la covarianza y la correlación

La covarianza y la correlación tienen varias diferencias, pero también tienen similitudes. Algunas de las similitudes son las siguientes:

Indicadores de la relación entre variables

Tanto la correlación como la covarianza miden únicamente la relación lineal entre variables. Esto implica que si el coeficiente de correlación es cero, también lo será la covarianza. Incluso el cambio de ubicación no afecta los estándares de correlación y covarianza.

Medida de la asociación lineal

Tanto la covarianza como la correlación son medidas utilizadas para evaluar la relación entre variables. Ofrecen claridad sobre cómo están vinculadas las variables entre sí.

Cálculos utilizando las mismas variables

El cálculo de la covarianza y la correlación requiere el mismo conjunto de variables. Necesitan

Los cálculos de covarianza y correlación involucran el mismo conjunto de variables. Requieren observaciones emparejadas de las variables de interés para determinar su relación.

Sin embargo, si se trata de elegir entre la covarianza y la correlación para calcular la relación entre variables, los expertos siempre prefieren la correlación sobre la covarianza porque el cambio de escala no afecta la correlación.

Diferencias entre la covarianza y la correlación

Aunque ambos son términos estadísticos, la covarianza y la correlación difieren entre sí en varios aspectos.

Interpretación y escala de valores

El cambio de escala cambia el valor de la covarianza. Un número mayor en la covarianza significa una mayor dependencia. La interpretación de la covarianza es difícil.

Por el contrario, el valor de correlación no se ve afectado por el cambio de escala. Los coeficientes de correlación van desde -1 hasta 1, lo que permite una interpretación más sencilla, a diferencia de la covarianza.

Relación con las unidades de medida

Las unidades de medida de las variables afectan la covarianza, lo que dificulta la comparación de valores de covarianza entre diferentes conjuntos de datos o variables con diferentes unidades.

Por otro lado, los coeficientes de correlación no tienen unidades y no dependen de las unidades de medida, lo que permite comparaciones entre variables con diversas unidades.

Estandarización y comparación entre conjuntos de datos

Dado que la Covarianza no tiene estandarización, comparar covarianzas en diferentes conjuntos de datos es un desafío. Mientras que los coeficientes de correlación están estandarizados. Por lo tanto, compararlos directamente entre variables, conjuntos de datos o contextos es fácil.

Robustez frente a valores atípicos

Los valores atípicos tienen un gran impacto en el valor de la Covarianza. Por lo tanto, es sensible a la presencia de valores atípicos. Por el contrario, los coeficientes de correlación ofrecen una medida más robusta de la relación entre variables, ya que son menos susceptibles a los valores atípicos.

Uso en diferentes contextos y aplicaciones

La Covarianza tiene aplicaciones en los siguientes casos:

Biología: Moléculas y Genética para medir DNAs específicos.
Estimar la cantidad invertida en diferentes activos en los mercados financieros.
Recopilar datos obtenidos de estudios oceanográficos/astronómicos para llegar a conclusiones.
Examinar un conjunto de datos con implicaciones lógicas del elemento principal.
Estudiar señales obtenidas en diferentes formas.

Por otro lado, la correlación tiene las siguientes aplicaciones:

Empleada en el reconocimiento de patrones.
Mide la relación entre la pobreza y la población.
Analiza el aumento de la temperatura durante el verano versus el consumo de agua entre los miembros de la familia.
Estima el tiempo versus el dinero que un cliente ha gastado en un sitio web de comercio electrónico en línea.
Compara los informes de pronóstico del clima pasados con el año actual.

Para resumir las diferencias, aquí tienes una tabla que debes revisar:

Casos de uso y ejemplos

A continuación se presentan algunas aplicaciones prácticas y ejemplos de Covarianza versus Correlación:

Escenarios prácticos donde es útil la Covarianza

Existen tres escenarios prácticos donde la Covarianza resulta beneficiosa:

Investigación de mercado: La Covarianza se utiliza en la investigación de mercado para analizar la relación entre variables, como los ingresos por ventas y los gastos en publicidad, para comprender la influencia de los esfuerzos de marketing en los resultados comerciales.
Evaluación de riesgos: La Covarianza ayuda en la gestión y evaluación de riesgos. Por ejemplo, en seguros, la Covarianza puede ayudar a identificar la asociación entre variables distintas (como frecuencia de reclamaciones, condiciones de salud y edad) para evaluar posibles pérdidas y establecer primas adecuadas.
Análisis de cartera: La Covarianza tiene una aplicación profunda en finanzas para evaluar la relación entre diferentes rendimientos de activos dentro de una cartera. Una Covarianza positiva significa que los activos se moverán en la misma dirección, mientras que una Covarianza negativa indica que se moverán en direcciones opuestas. Esta información es útil en la diversificación de carteras para gestionar el riesgo.

Escenarios prácticos donde es útil la Correlación

Algunos casos prácticos de correlación incluyen pronósticos, análisis de datos e investigación médica.

Pronósticos: Las correlaciones ayudan a los pronosticadores a determinar hasta qué punto pueden predecir una variable en función de los valores de otra variable. Por ejemplo, la correlación en la previsión de ventas puede ser beneficiosa para predecir futuras ventas en función de registros de ventas anteriores.
Análisis de datos: Los entusiastas de los datos utilizan la correlación popularmente para cuantificar e identificar relaciones entre variables. Por ejemplo, en ciencias sociales, la correlación puede ayudar a determinar la relación entre variables como nivel educativo o ingresos, o entre productividad y satisfacción laboral.
Investigación médica: En la investigación médica, las correlaciones ayudan a encontrar asociaciones entre variables, como la correlación entre el cáncer de pulmón y el tabaquismo o la correlación entre el riesgo de enfermedades cardiovasculares y el IMC (índice de masa corporal).

Ejemplos y aplicaciones del mundo real de Covarianza y Correlación

Aunque ya se han descrito las aplicaciones de Covarianza y correlación, algunos ejemplos del mundo real son los siguientes:

La Covarianza se utiliza ampliamente en finanzas y en la teoría moderna de carteras. Por ejemplo, la Covarianza entre un valor y el mercado se utiliza en el cálculo de una de las variables clave del modelo, el beta, en el Modelo de Fijación de Precios de Activos de Capital (CAPM), que determina el rendimiento esperado de un activo.

En el CAPM, el beta cuantifica la volatilidad de un activo, o riesgo sistemático, en comparación con todo el mercado; es una métrica valiosa que utiliza la Covarianza para determinar la exposición al riesgo de un inversor en relación con una inversión particular.

Ejemplos de correlación incluyen el tiempo dedicado a correr vs. el porcentaje de grasa corporal. Cuanto más tiempo una persona pasa corriendo, menos grasa corporal tiene. En otras palabras, existe una relación negativa entre el tiempo de carrera y el porcentaje de grasa corporal. El porcentaje de grasa corporal disminuye a medida que aumenta el tiempo de carrera.

Otro ejemplo incluye el peso corporal vs. la altura. La relación entre el tamaño y el peso de un individuo suele ser positiva. En otras palabras, aquellos que son más altos tienden a pesar más.

Puntos a considerar al elegir entre Covarianza y Correlación

Antes de concluir o elegir entre Covarianza o Correlación, debes tener en cuenta lo siguiente:

1. Consideraciones para la Pregunta de Investigación u Objetivo

Enfócate en tus necesidades. Lo que elijas debe ir de la mano con el objetivo específico o la pregunta de investigación. Si tu objetivo es estimar la dirección y la fuerza de la asociación lineal entre variables, entonces elegir la correlación será sabio. Sin embargo, si deseas medir la extensión de una relación sin ninguna interpretación, opta por la covarianza.

2. Naturaleza de las Variables y Suposiciones Subyacentes

El siguiente punto a considerar es la naturaleza de las variables que estás examinando y las suposiciones para cada medida. La correlación no tiene unidad; es adimensional y abarca una asociación lineal entre variables. Sin embargo, la covarianza se enfoca en las unidades básicas y es sensible a la escala.

3. Disponibilidad de Datos y Escala de Medición

No olvides evaluar la escala de medición de las variables y los datos disponibles. Mientras que la covarianza requiere observaciones emparejadas de las variables, la correlación necesita una suposición de normalidad similar y bivariada.

4. Importancia de la Interpretación o Comparación Estandarizada

Debes analizar la necesidad de comparación o interpretación estandarizada entre varias variables o conjuntos de datos. Si la comparación es esencial, el rango estandarizado de la correlación varía de -1 a 1, lo que permite una comparación e interpretación sencillas.

5. Aplicabilidad en el Análisis o Campo Específico

Debes elegir un análisis o campo de investigación específico. Mientras que la covarianza es aplicable en investigación de mercado, evaluación de riesgos y finanzas, la correlación se emplea en pronósticos, análisis de datos y ciencias sociales.

Conclusión

Comprender las diferencias entre la covarianza y la correlación es importante. La covarianza mide el grado de relación lineal, mientras que la correlación ofrece una medida estandarizada que también considera la dirección y la fuerza de la relación.

La covarianza vs correlación tiene varios fundamentos para la diferenciación, como la estandarización, la interpretación, la escala, la sensibilidad a los valores atípicos y las aplicaciones en diversos términos. Aunque difieren significativamente, también comparten algunas similitudes. Son indicadores de la relación entre variables y medidas de asociación lineal.

Elegir una medida adecuada es crucial. Debe basarse en requisitos específicos y en el contexto del análisis. La covarianza es beneficiosa en investigación de mercado, evaluación de riesgos, análisis de cartera y más. En contraste, la correlación es útil en investigación médica, pronósticos, análisis de datos y otras áreas.

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