Diferenciabilidad de una Función Dada su Gráfica

Diferenciabilidad de una función

Tenemos en cuenta la función:

Su gráfica es:

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La derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la función en ese punto. Para esta función, la derivada existe en todos los puntos x de su dominio. Pero, este no es el caso para todas las funciones. Hay funciones para las cuales las derivadas no existen en todos los puntos de sus dominios. En este artículo, veremos tres tipos de puntos en los cuales una función no tendrá una derivada; es decir, no es diferenciable.

Una función se define formalmente como diferenciable si su derivada existe en todos los puntos x de su dominio. Es decir, si puedes calcular un valor único en cada punto de su dominio, se llama diferenciable.

Una función se considera continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.

Consideremos la función f(x) = |x|. Se define como:

Su gráfica se dibuja como:

Esta es una función continua. Dibujemos una tangente en x=0. Se puede dibujar como (la línea roja es la tangente):

Pero, otra tangente se puede dibujar en x=0 como:

Esta línea también toca la función en un solo punto, es decir, x=0. Por lo tanto, es una tangente. De hecho, para esta función, hay múltiples líneas tangentes posibles en x=0:

Esto significa que no hay un valor único para la pendiente de la tangente en x=0.

Echemos un vistazo también a los cálculos de límites.

La derivada de f(x) se define como el valor del siguiente límite:

Calculemos los límites unilaterales:

Límite izquierdo:

Límite derecho:

Límite izquierdo = -1 y límite derecho = 1. No están de acuerdo. Por lo tanto, no hay un valor único para el límite y, por lo tanto, no existe. Entonces, f(x) = |x| no es diferenciable en x=0. Este tipo de función se dice que tiene una esquina (también llamada cúspide o giro brusco). Un ejemplo gráfico de una función de este tipo es:

Esta función tiene una esquina en x=a.

Una función discontinua como la que se muestra a continuación también es no diferenciable en el punto de discontinuidad porque los límites izquierdo y derecho no estarán de acuerdo:

Nota:

1. El punto en el que una función toma un valor infinito también se llama discontinuidad.
2. Cuando el valor de la función es un solo punto, eso también es una discontinuidad, como se muestra a continuación. Esta función tiene un valor de un solo punto de 2 en x=a:

Una función es no diferenciable en el punto donde la línea tangente es vertical porque, en ese punto, la tangente tiene una pendiente que es indefinida (infinito). Se muestra un ejemplo de tal función a continuación (la línea roja es la tangente en x=a):

Por lo tanto, hay tres tipos de puntos en los que una función no es diferenciable:

1. esquina (o punto de inflexión o giro brusco)
2. discontinuidad (salto, infinito, punto)
3. tangente vertical (la pendiente es indefinida)

¿Cuáles son los puntos en los que la siguiente función no es diferenciable?

Los puntos son:

1. esquinas -> -3
2. discontinuidad -> -10, 1, 4
3. tangente vertical -> -8

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