Derivada de una función – ¿Qué es?

Derivada de una función - ¿Qué es?

¿Qué es una tangente a una función f(x) en un punto x? Es la línea que toca la función solo en el punto x. No intersecta la función en ningún otro punto x2, que es diferente de x.

¿Qué es la derivada de una función f(x) en un punto x? Es la pendiente de la tangente a la función en ese punto.

Considera la función:

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El gráfico de esta función es:

Para cualquier x < 0, la tangente a la función en x se vería así:

Esta tangente tiene una pendiente negativa. Entonces, la derivada de f(x) en x < 0 es negativa.

Para cualquier x > 0, la tangente a la función en x se vería así:

Esta tangente tiene una pendiente positiva. Entonces, la derivada de f(x) en x > 0 es positiva.

En x = 0, la tangente a la función coincide con el eje x como se muestra a continuación:

Esta tangente tiene una pendiente de 0. Entonces, la derivada de f(x) en x = 0 es cero.

Observa que en x = 0, la tangente no será como la siguiente porque la línea intersecta la función en 2 puntos:

La derivada de una función f(x) está definida matemáticamente como el siguiente límite:

Aquí h es un número infinitesimalmente pequeño.

A medida que h se acerca a 0 desde la dirección negativa (para valores negativos de h), el siguiente es el valor del límite:

A medida que h se acerca a 0 desde la dirección positiva (para valores positivos de h), el siguiente es el valor del límite:

La derivada se denota como:

Estos dos límites deben ser iguales. Ese valor límite es la derivada.

Aquí df(x) en x = a es:

Aquí dx es:

Observa que el ejemplo tomado anteriormente es una función que es continua y suave en todos los x. Las derivadas de una función existen solo en puntos donde es continua y suave y donde no ocurren tangentes verticales (en puntos donde ocurren tangentes verticales, la pendiente de la tangente es infinita). Una derivada también se llama diferencial.

Existen puntos donde una función no tendrá una derivada. La función no es diferenciable en dichos puntos. Veremos esos puntos en una publicación futura.

¡Hasta luego!

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